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Geometrias Não-Euclidianas

• arte

Escrito em Junho de 2007, por dardna em Design de Comunicação (escrito), Geometria.

O método alternativo e as novidades por ele introduzidas na arte e ciência.

1. Introdução
2. Antes das geometrias não euclidianas
3. Nascimento das geometrias não euclidianas
4. Geometrias não euclidianas
5. Geometrias não euclidianas e a arte
6. Conclusão
7. Bibliografia

I. Introdução

Na sucessão da mudança de sistema de artes, fenómeno que se pode dar por terminado no fim do século XVIII, não só se altera o estatuto do artista como a concepção de obra de arte. Novas ideias surgem neste ambiente fértil, agora liberto do dogmatismo da Igreja que projectou a sua ideologia (sombra?) durante toda a Idade Media.

Estas inovações acontecem em todos os ramos da sociedade, sobretudo na arte e na ciência e, contra todas as aparências, talvez não devêssemos separar tão prontamente estes dois campos. Na Antiguidade o conceito de arte não impunha esta divisão e englobava qualquer conhecimento técnico, desde fazer sapatos a escrever poemas e esta fissura deve-se à actual tendência para remeter qualquer actividade humana para as respectivas esferas da economia, politica, sociologia e arte. De facto, vivemos numa sociedade que pela especialização dos seus membros acaba por aumentar o fosso existente entre as diversas disciplinas ao mantê-las num estudo isolado e quase contraditório.

Destas inovações interessa-me especialmente para esta reflexão o aparecimento das chamadas Geometrias Não Euclidianas, no século XIX, que vêm, como o nome indica, por em questão a concepção euclidiana até então dominante. É preciso compreender que este foi um marco importantíssimo que alterou completamente a maneira de ver e estar. É certo que não foi uma coisa instantânea, antes pelo contrário, a principio foi uma ideia muito mal vista, mas a verdade é que para hoje analisar correctamente muita da arte que é produzida será necessário voltar atrás e assimilar estas noções pois são numerosos os artistas que delas se embebem.

Assim, sem mais demoras, voltemos atrás no tempo.

II. Antes das Geometrias Não Euclidianas

Na Idade Média a arte era sobretudo apreciada como um conjunto de símbolos e não como um conjunto organizado e coerente. As representações dessa época dividiam em geral o universo em dois mundos distintos sem continuidade entre eles e tendo cada um leis próprias. Obtínhamos assim o Céu Sagrado, distante do seu oposto Terra, corrupto e mundano. O único método utilizado para dar impressão de distância entre objectos era a sobreposição de personagens.

Na verdade a perspectiva só aparece bem mais tarde com os estudos do Renascimento, no século XVIII. Já antes os Gregos (e na sua sucessão, os Romanos) tinham desenvolvido um método chamado escorço; este não conhecia pontos de fuga mas conseguia um resultado razoavelmente próximo da perspectiva.

Foi portanto o arquitecto Fillippo Brunelleschi, em meados do século XV, que formulou pela primeira vez o método geométrico de construção da perspectiva que, na sua base, é o mesmo ainda utilizado hoje em dia. Só algumas décadas depois é que foi desenvolvido um método que permitia calcular a altura aparente de diferentes objectos através da relação entre triângulos semelhantes estabelecida por Euclides. Esta demonstração aparece no tratado Della Pittura, de Leon Battista Alberti, amigo e admirador de Brunelleschi. Apesar de demonstrada, esta invenção manteve-se ainda durante muito tempo sob o domínio exclusivo florentino pois, ao mesmo tempo no resto da Europa, e devido ao isolamento, os artistas continuavam a não demonstrar este tipo de organização nas suas obras.

A inovação da perspectiva trouxe aos renascentistas a possibilidade de pensar e representar a infinidade do espaço, o que é uma viragem radical na concepção espacial. Agora já não é perceptível a fronteira entre o Céu e a Terra, o que os aproxima em muito. Estamos já longe das representações desorganizadas da Idade Media, a maneira de ver o universo que nos rodeia alterou-se completamente.

Este não é ainda o objecto da minha atenção mas trata-se sim da ideia que permaneceu dominante, fundamentalmente baseada na geometria euclidiana, sendo o método perspectivo mais utilizado ainda contemporaneamente.

Interessemo-nos então pelo aparecimento da contestação a este sistema que, como já referi, aparece no século XIX.

III. O Nascimento das Geometrias Não Euclidianas

De facto não podemos dizer que a geometria euclidiana é um disparate, nem tal foi a intenção dos pioneiros das novas geometrias. A verdade é que se a geometria euclidiana funciona, isso só acontece em espaços planos. Como trabalhar então em espaços curvos?

Todo o progresso feito neste campo deve-se essencialmente a quatro homens: Johan Carl Friedrich Gauss, János Bolyai, Nicolai Ivanovich Lobachevski e finalmente Georg Friedrich Bernhard Riemann.

Gauss, nascido em 1777, foi um dos maiores matemáticos da sua época. Já aos sete anos demonstrou o seu potencial matemático quando quase instantaneamente respondeu aos seus professores que a soma dos números inteiros de 1 a 100 não era mais do que a soma de cinquenta pares de números (sendo que a soma dos números de cada par resultava sempre em 101). No início de 1800 despertou-se o seu interesse pelo estudo de geometrias não euclidianas, sendo que nunca chegou a publicar as suas ideias sob a forma de artigo apercebendo-se das agressivas reacções que o esperavam se o fizesse. Publicou vários artigos sobre a chamada geometria diferencial. Famoso ficou o seu “teorema egregium” ou ainda a curvatura gaussiana. Gauss morre em 1855.

O mais esquecido dos quatro, e não menor, Bolyai, tendo seu pai matemático como professor, foi uma criança prodígio. Nascido em 1802, em 1832 Bolyai publicou os resultados da sua pesquisa sobre geometrias não euclidianas como anexo a um trabalho volumoso de seu pai, Farkas Bolyai. Bolyai morre em 1860 e nem uma das suas vinte mil páginas de manuscritos foi publicada.

Lobachevski era um dos três filhos de uma família russa muito pobre. Financiado por bolsas escolares, estudou na universidade sob a atenção de Martin Bartels, amigo e correspondente de Gauss. Em 1829 publicou o seu trabalho “Sobre os Fundamentos da Geometria”, mas o seu interesse pela geometria não euclidiana apenas lhe valeu o desrespeito dos seus compatriotas e todos os seus alunos o abandonaram no dia do seu funeral, em 1856.

Foi Riemann quem voltou a avançar com estes novos pensamentos. Nascido em 1826, para obter a posição de professor assistente da universidade de Göttingen, deu uma palestra “Sobre as Hipóteses subjacentes aos fundamentos da Geometria”. Esse trabalho foi um sucesso e Gauss preocupou-se em felicitá-lo pessoalmente. Aparentemente Riemann não sabia nada sobre os trabalhos de Lobachevski e Bolyai e tinha somente uma vaga ideia do interesse de Gauss pelo assunto. Esse trabalho de Riemann introduz um conceito totalmente original até então: a variedade multidimensional, ou seja, objectos geométricos com múltiplas dimensões.

Parece-me evidente que estas novas ideias tiveram uma certa dificuldade em desabrochar, sobretudo devido a falta de tolerância, afinal vinham alterar completamente a ordem instalada de ideias. A verdade é que talvez nem esses quatro se apercebessem das proporções que tomaria a matéria em que investigavam.

Vejamos então em que consiste esta teoria inovadora.

IV. Geometrias Não Euclidianas

Como já referi a geometria euclidiana aplica-se num espaço plano e deixa de fazer sentido num espaço curvo. Pode parecer estranho então como foi tantas vezes utilizada para fazer representações terrestres, sendo a Terra um espaço quase esférico. Acontece que, a nível local, podemos considerar que estamos num espaço plano. Os problemas, na verdade, começam quando consideramos grandes distâncias sobre a superfície terrestre.

A descoberta destas novas geometrias começa ao tentar desprezar o quinto postulado de Euclides, que diz que, dada uma recta AB e um ponto C não pertencente a AB podemos traçar uma e uma só recta paralela a AB passando por C. Os pesquisadores disseram que por C não passava uma mas duas, e logo, infinitas paralelas. O objectivo era agora conseguir construir uma nova geometria que obedecesse a este axioma, geometria essa que iria acabar por revelar contradições lógicas se o quinto postulado de Euclides fosse realmente um teorema.

A verdade é que a suposição inicial averiguou-se acertada e estes homens tinham nas mãos a nova geometria que procuravam, proprietária de características interessantes e únicas.

Estas novas teorias funcionam portanto em espaços curvos, se a curvatura for positiva estamos à superfície de uma esfera, se negativa à superfície de uma hiperbolóide (ver anexo 1). Para melhor compreender a verdadeira diferença na concepção espacial entre as duas geometrias passo a usar um exemplo prático. Num planeta habitado por seres planos, bidimensionais e sem a noção de altura, estes determinam o caminho mais rápido entre dois pontos estendo uma linha que una os mesmos dois pontos. Ao olho dessas criaturas que viajam entre dois pontos, a linha que seguem aparenta ser recta à medida que ao seu longo se deslocam: de facto a sua direcção de chegada ou de partida tem um ângulo nulo à linha que seguem, em qualquer ponto da sua viagem. Dai o facto de a geometria euclidiana ser aplicável localmente.

Agora, seguindo a definição aqui introduzida, é fácil compreender que ao mover-se ao longo das rectas traçadas na superfície esférica, estas criaturas bidimensionais regressam sempre ao seu ponto de partida e, sobretudo, que todas estas linhas rectas se interceptam. Riemann chamou a estes percursos mais curtos entre dois pontos numa superfície esférica de geodésicas (ver anexo 2).

Outro exemplo bem significativo da novidade introduzida é o caso do triângulo, cujos soma dos ângulos internos, na geometria euclidiana resulta sempre em 180° e cujo comportamento se altera significativamente segundo as novas concepções. Numa superfície de curvatura positiva, a soma dos ângulos internos de um triângulo supera sempre os 180° de Euclides (podemos assim conceber um triangulo cujos ângulos interiores representam cada um 90°), e numa superfície de curvatura negativa essa soma será sempre inferior a 180° (ver anexo 1 e 3).

Estas novas definições abrem portas para a criação de uma infinidade de novos espaços. No entanto apenas os dois já apresentados – a superfície hiperbólica, descoberta através dos trabalhos de Gauss, Bolyai e Lobachevski, e a superfície esférica descoberta por Riemann – se podem pôr lado-a-lado com o sistema euclidiano por conferirem as mesmas características. Para perceber esta comparação, e peço por isso desculpa ao leitor que se pode aborrecer com tantas considerações de ordem técnica, temos de entender que Euclides dotou a sua geometria de uma uniformidade notável. Quer-se com isto dizer que a sua proposta é ao mesmo tempo homogénea – cujas propriedades não se alteram em qualquer local definido no seu espaço – e isotrópica – cujas propriedades não se alteram consoante a direcção em que são consideradas.

O nascimento das geometrias não euclidianas deve-se portanto à posta em questão de uma geometria que até então se tinha quedado como quase universalmente aceite. Não se deve, no entanto, esquecer que já anteriormente Leonardo Da Vinci havia desconfiado da formulação de perspectiva de Brunelleschi, pois esta não tinha em conta objectos observados muito próximo do olho, dando assim origem à chamada perspectiva atmosférica, que tinha como resultado uma perda de nitidez ao nível da silhueta do objecto representado, à medida que este se afasta do observador.

Agora que sabemos em que consistem as geometrias não euclidianas podemos então procurar as suas consequências, que começaram por inspirar no século XIX e que até hoje têm sido desenvolvidas, fosse pela arte, fosse pela ciência.

V. Geometrias Não Euclidianas e a Arte

Como já referi, talvez não devêssemos criar uma barreira tão sólida entre estas duas disciplinas e a verdade é que se, ao olharmos para a pintura do inicio do século XIX, é evidente a drástica mudança na representação da natureza, isto deve-se em grande parte aos progressos técnico-científicos, como por exemplo a obtenção da primeira fotografia sobre papel em 1839, e ao surgimento das ditas geometrias não euclidianas, que ocorre entre 1824 e 1854. Para além do mais vive-se numa época em que se volta a por em questão as tradicionais representações pictográficas.

Na literatura, por exemplo, Dostoiévski é dos primeiros a abordar a dificuldade em conceber o mundo de outra forma que pela geometria de Euclides na sua obra, Os Irmãos Karamazov. Outra obra muito significativa é a Maquina do Tempo de H.G.Wells, que surge em 1895, e antecipa o que Einstein virá propor dez anos depois sobre a quadridimensionalidade espaço-temporal.

Na pintura a reacção a estas novas abordagens da natureza também se fazem rapidamente notar. A fotografia “congelou” o tempo e se na Idade Media os artistas não dominavam a perspectiva, os artistas da segunda parte do século XIX recusam-na subvertendo as suas regras e criando distorções espaciais.

O movimento que mais se baseou nas novas percepções espaciais foi o Impressionismo. Os impressionistas não seguiam os preconceitos do Realismo ou da Academia e procuravam sobretudo dar vida própria as suas obras. É justamente por este desejo de quebra que não podemos incluir Manet no Impressionismo pois suas obras são inspiradas da tradição. No entanto o seu trabalho foi fulcral para a pintura impressionista e foi em seu redor que se desenvolveu este estilo. A luz e o movimento tornam-se então o principal elemento da pintura.

Tentando agora encontrar exemplos concretos da posta em prática destas novas teorias na obra de Manet, debrucemo-nos sobre o seu quadro Le dejeuner sur l’herbe (ver anexo 5). Neste quadro surge o primeiro grande choque de perspectiva: não será necessário muito tempo de observação para que o olhar tropece num objecto que, pelo menos visto assim, está em completa desproporção com o resto do conjunto. Trata-se de uma mulher que no fundo da composição se banha e esta é representada exageradamente grande, causando também algum incómodo ao nível da iluminação.

Manet vai mais longe com a abolição do espaço euclidiano no seu quadro Musique aux Tuileries (ver anexo 5), no qual apresenta uma cena sem foco na qual o observador tem alguma dificuldade em navegar devido a falta de referências. Este efeito é ainda intensificado pela falta de perpendicularidade pois Manet cuidou de curvar todas as arvores e inclinar todos os chapéus nas cabeças masculinas.

Outro estudo aprofundado por Claude Monet, a não confundir com Manet, a partir de 1890 foi o do tempo na pintura. Preocupou-se em representar a mesma composição em diferentes momentos do tempo. As obras que melhor simbolizam este aspecto são sem duvida as Meules de Foin. Para a elaboração destes temas tomava intervalos de tempo que podiam ir de apenas de algumas horas a vários meses. Temos aqui bem evidente o surgimento da quadridimensionalidade na pintura, e esse era o objectivo de Manet: criar uma relação na pintura tão forte entre o objecto e o tempo, como a que até então existia com as três dimensões. É ainda importante notar que tanto Manet como Monet nunca teorizaram nenhuma das suas procuras, apenas as tornaram evidentes e inevitáveis na sua pintura, e esta é a grande diferença de método entre a ciência e arte, sendo que na maior parte das vezes a procura é comum.

Paul Cézanne é outro pintor a quem devemos uma abertura na forma de ver o espaço pois foi o primeiro a demonstrar que os objectos de uma pintura integram o espaço de trabalho e são afectados pelo mesmo. Até então nunca tinha havido uma preocupação em conjugar objecto e espaço, não havendo implicação deste no movimento dos objectos. Assim como para Newton o espaço e o tempo eram coisas distintas, para os artistas o espaço nunca interagira com a matéria nele colocado. Não será de esquecer também o nome de Van Gogh que colaborou com o impressionismo.

Este foi o início da revolução provocada pelo aparecimento das geometrias não euclidianas. Repito, estes artistas pintavam nas suas telas teorias que Einstein viria a teorizar décadas mais tarde. Todas estas ideias foram levadas a pontos mais extremos no século XX com o Cubismo de Pablo Picasso.

O Cubismo pode ser comparado à invenção revolucionária da perspectiva na Renascença e se Monet introduziu uma representação temporal na pintura, apoiando-se em vários quadros demonstrativos da temporalidade do espaço, Picasso introduz a simultaneidade. A pintura cubista fraccionou assim a apreensão da realidade ao apresentar simultaneamente partes de um objecto que não poderiam ser vistas ao mesmo tempo – a percepção deixa de se poder resumir a uma mera soma de partes pela impossibilidade de reagrupar os fragmentos.

Para subverter o paradigma mecânico, que via o mundo como uma clássica sequencia de regras e era então dominante, Picasso procurou inspiração em motivos africanos pois a visão primitiva do espaço e do tempo é bem diferente da euclidiana.

Isto pode ser observado num dos quadros mais famosos e mais representativos do início do cubismo: Les Demoiselles d’Avignon (ver anexo 6) no qual a mulher agachada está representada ao mesmo tempo de perfil e de frente.

Em termos gerais, a grande mudança provocada por Picasso foi sem duvida a ligação (ou re-ligação) entre ciência, matemática, tecnologia e arte.

Assim, a noção de forma fechada concebida num espaço estático e monocular, comummente herdada do Renascimento é agora substituída pela imagem de ritmo, pela pluri-focalidade e pela polissensorialidade.

Victor Vasarely, nascido a 9 de Abril de 1906, leva a ideia de quadridimensionalidade mais longe afirmando que para ele o tempo não é a quarta mas a primeira dimensão pois o espaço é o lugar de um fenómeno que se realiza ao longo do tempo. Sem com isto querer fugir à discussão, é notável o facto de hoje em dia também os físicos preferirem definir o metro-padão a partir de um período de tempo: o espaço será medido em função da constância da velocidade da luz. A matéria fornece o relógio atómico, com seus rigorosos períodos de desintegração.

A nível da evolução cromática é de notar, desde o Impressionismo, a utilização de cores vivas para produzir efeitos de luz. Este novo método, em conjunto com os outros já referidos, faz com que o espaço se transforme num campo de energia lumino-cromática.

Outro aspecto marcante nos artistas não-euclidianos do século XX é a sua vontade de revelar todo o processo pictográfico, que inclui o sujeito, o que acaba por se reflectir na sua intenção estética.

VI. Conclusão

Vimos portanto a importância que tomou a invenção de quatro homens, troçados e rebaixados (a excepção de Riemann) ainda no princípio do século XIX, na arte ocidental e, muito mais geralmente no século XX: no século XIX passamos da perspectiva do renascimento para a posta em questão da mesma com perspectivas destorcidas; começa-se a alterar o sistema cromático; no século XX é explorado a fundo o tema, já iniciado anteriormente, do tempo na pintura e dá-se o surgimento da pluri-focalidade e do ritmo. Estas foram as implicações directas do aparecimento das geometrias não euclidianas no mundo da arte.

No entanto parece-me importante reparar na ordem em que as ideias surgiram pois ela demonstra a intima relação existente entre arte e ciência. Certamente a ideia de geometrias não euclidianas funda-se no trabalho de quatro matemáticos mas antes de esta ser compreendida por um número significativo de pessoas, ou mesmo de as suas aplicações serem encontradas no campo da física, já os artistas a digeriam e representavam nas suas obras, assim como as regras que a regem. E isto não acontece apenas após o século XIX: Galileu, graças ao conhecimento da perspectiva adquirido em Florença e a uma luneta, conseguiu reproduzir as irregularidades da superfície lunar e determinar mesmo a altura das suas montanhas, acabando com a imagem de perfeição lunar associada a Imaculada Criação, até então em vigor. Esses resultados, se comparados aos de Thomas Harriot, que se interessou pelo mesmo exercício em 1609 mas desconhecendo absolutamente a técnica florentina, demonstram a importância da conjugação das duas disciplinas.

Assim estabelece-se um jogo dialéctico entre as duas que não deve de forma alguma ser interrompido. Ora, como já introduzi, a tendência não é de aproximação, antes pelo contrário. Se há uma coisa inteligente a fazer a partir do estudo da História é certamente aprender com os erros do passado e tirar bons exemplos.

Para terminar com esta ideia gostaria de introduzir Richard Buckminster Fuller, visionário norte-americano, designer, arquitecto, escritor (entre muitos outros) e, sendo esta a noção que me interessa para o caso, pai da sinergia. Esta representa a cooperação entre varias abordagens, disciplinas ou sistemas na realização de uma tarefa complexa. No seu livro, Manual de Instruções para a Nave Espacial Terra, que aconselho vivamente, defende que o Homem não está no bom caminho ao especializar-se de tal forma, e isto apesar de ter tudo ao seu alcance para uma vida agradável e equilibrada no planeta que o acolhe. Concordo plenamente com esta visão e parece-me que os artistas, mais uma vez sem o teorizarem por palavras, serão os primeiros a partilhar dela também (sendo isso que se tem observado).

VII. Bibliografia

• REIS, J. C.; GUERRA, A.; BRAGA, M.: Science and art: unlikely relations? História, Ciências, Saúde – Manguinhos, v. 13, (supplement), p. 71-87, October 2006.
• GONÇALVES, Rui Mário, A Arte e a Ciência no século XX, palestra proferida no encontro “Teias Matemáticas”, realizado em 2001 no Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra”, pré-publicado pela “Gazeta”, que para isso obteve autorização do autor e dos editores.
• Observatório Nacional (Brasil), A Geometria dos Espaços Curvos ou Geometria não euclidiana

António Andrade 02/2007